- Demuestre que el siguiente argumento es válido: ϕ→ψ,ψ→ρ⊢ϕ→ψ∧ρ
Escribimos las premisas y la conclusión
Paso Fórmula Regla 1 ϕ→ψ Premisa 2 ψ→ρ Premisa … … … n ϕ→ψ∧ρ Conclusión Como la estructura de la conclusión es una implicación, adoptamos su antecedente como supuesto y tratamos de demostrar su consecuente.
Paso Fórmula Regla 1 ϕ→ψ Premisa 2 ψ→ρ Premisa 3 ϕ Supuesto … … … n−1 ψ∧ρ Conclusión n ϕ→ψ∧ρ (→i) El resto es sencillo, dos modus ponens y una introducción de conjunción:
Paso Fórmula Regla 1 ϕ→ψ Premisa 2 ψ→ρ Premisa 3 ϕ Supuesto 4 ψ (→e) 1,3 5 ρ (→e) 2,4 6 ψ∧ρ (∧i) 4,5 7 ϕ→ψ∧ρ (→i) 3−6 Recuerden que los pasos 3 a 6, forman una caja en los esquemas de las notas del curso. Se puede decir que es una demostración dentro de la demostración original, dado que ϕ es el caso.
- Demostrar que la siguiente proposición es un teorema: (α→β→γ)→(α∧β→γ).
Como el operador principal de la fórmula es una implicación, procedemos a usar la introducción de la implicación para la prueba:
Paso Fórmula Regla 1 (α→β→γ) Supuesto n−1 (α∧β→γ) … n (α→β→γ)→(α∧β→γ) (→i) Como el operador principal del paso n−1 también es una implicación, procedemos de la misma manera:
Paso Fórmula Regla 1 (α→β→γ) Supuesto 2 α∧β Supuesto n−2 γ … n−1 (α∧β→γ) (→i) n (α→β→γ)→(α∧β→γ) (→i) Procedemos con la demostración aprovechando la conjunción para probar las implicaciones:
Paso Fórmula Regla 1 (α→β→γ) Supuesto 2 α∧β Supuesto 3 α (∧e1) 2 4 β→γ (→e) 1,3 5 β (∧e2) 2 6 γ (→e) 4,5 7 (α∧β→γ) (→i) 2−6 8 (α→β→γ)→(α∧β→γ) (→i) 1−7