{"id":9680,"date":"2019-08-20T11:42:33","date_gmt":"2019-08-20T16:42:33","guid":{"rendered":"https:\/\/www.uv.mx\/cienciauv\/?p=9680"},"modified":"2019-08-20T12:05:48","modified_gmt":"2019-08-20T17:05:48","slug":"la-geometriacomplejaunasingularformademedicion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.uv.mx\/cienciauv\/blog\/la-geometriacomplejaunasingularformademedicion\/","title":{"rendered":"La geometr\u00eda compleja, una singular forma de medici\u00f3n."},"content":{"rendered":"

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Francisco Gabriel Hern\u00e1ndez Zamora<\/strong><\/p>\n

Durante el siglo XVII, Pierre de Fermat (1601-1665) y Ren\u00e9 Descartes (1596-1650) encontraron una manera \u2013distinta a las conocidas hasta entonces\u2013 de mostrar la geometr\u00eda. Usaron representaciones algebraicas de las figuras, lo que se conoce como geometr\u00eda anal\u00edtica o de coordenadas. Una de estas representaciones es cosa corriente para quienes han cursado la educaci\u00f3n secundaria, donde la herramienta principal para realizar mediciones es el teorema de Pit\u00e1goras. Asimismo, las coordenadas empleadas en este sistema nos ayudan a entender superficies m\u00e1s complicadas tales como la esfera, en las que podemos describir una ubicaci\u00f3n \u2013dar coordenadas\u2013 por la longitud y la latitud en los mapas de navegaci\u00f3n.<\/p>\n

Cuando queremos medir sobre una superficie (o variedad diferenciable) curvada (con curvatura), es decir que no es plana, aparecen ciertas dificultades. El alem\u00e1n Carl Friedrich Gauss (1777-1855), uno de los m\u00e1s destacados matem\u00e1ticos de la \u00e9poca, fue el primero en precisar la noci\u00f3n de curvatura de una superficie. Con esta idea y la definici\u00f3n de geod<\/em>\u00e9<\/em>sica<\/em> (la curva con menor distancia entre dos puntos sobre una superficie, concepto totalmente an\u00e1logo al de recta en el plano), demostr\u00f3 que existen superficies en las que los \u00e1ngulos internos de los tri\u00e1ngulos formados por las geod\u00e9sicas no suman necesariamente dos \u00e1ngulos rectos. Este descubrimiento dio origen a considerar geometr\u00edas no euclidianas, que fueron introducidas, de manera independiente, por Nikol\u00e1i Lobachevski (1792-1856) y J\u00e1nos Bolyai (1802-1860).<\/p>\n

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Nuevas variedades de medici\u00f3<\/strong>n<\/strong><\/p>\n

A la pregunta de c\u00f3mo medir en variedades m\u00e1s generales, Bernhard Riemann (1826-1866), matem\u00e1tico alem\u00e1n de quien Gauss elogi\u00f3 su tesis doctoral, dio respuesta dotando al espacio donde se trabaja de una f\u00f3rmula similar (m\u00e9trica riemanniana) al teorema de Pit\u00e1goras para medir longitud de curvas, la cual permit\u00eda calcular per\u00edmetros de figuras, \u00e1reas, vol\u00famenes, \u00e1ngulos entre geod\u00e9sicas que se intersectan y cualquier tipo de mediciones que se les pudiera ocurrir en aquellos a\u00f1os.<\/p>\n

Ahora bien, para estudiar una variedad debemos tener una funci\u00f3n que nos describa la distancia entre puntos. Esta funci\u00f3n se ve muy limitada cuando consideramos \u00fanicamente n\u00fameros reales. Es necesario entonces considerar estructuras algebraicas m\u00e1s generales; por ejemplo, si tratamos de resolver una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica del tipo , recurrimos a la f\u00f3rmula general (llamada en el Facebook \u201cla chicharronera\u201d), es decir .<\/p>\n

Como podemos observar, y para nuestra sorpresa, debemos calcular la ra\u00edz cuadrada de un n\u00famero negativo. Las ra\u00edces de n\u00fameros negativos se atribuyen a los babilonios (1800 a. C.), y desde entonces se han encontrado dentro de la cultura matem\u00e1tica. Durante el siglo XVIII varios matem\u00e1ticos usaron el s\u00edmbolo \u00a0en la soluci\u00f3n de sus problemas. Sin embargo, fue Euler quien introdujo la letra \u00a0para denotar al n\u00famero \u00a0y encontr\u00f3 la ecuaci\u00f3n que es considerada la m\u00e1s bella de las matem\u00e1ticas, la cual relaciona la unidad \u201c\u201d con tres constantes importantes, a saber, la constante de Euler \u201c\u201d, el n\u00famero \u201c\u201d y el n\u00famero complejo \u201c\u201d<\/p>\n

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Surge la geometr<\/strong>\u00eda compleja<\/strong><\/p>\n

Con la invenci\u00f3n del tambi\u00e9n llamado n\u00famero imaginario \u201c\u201d, de manera independiente Caspar Wessel (1745-1818), Jean-Robert Argand (1768-1822) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855) contribuyeron a la creaci\u00f3n del plano complejo, y con ello al surgimiento de la geometr\u00eda compleja. As\u00ed, los n\u00fameros complejos, denotados por C, se representaron en el plano cartesiano R^{2<\/sup> [donde la primer coordenada es la parte real y la segunda es la parte imaginaria del n\u00famero complejo: \u00a0se identifica con ], con la caracter\u00edstica especial que poseen m\u00e1s estructura algebraica (adem\u00e1s de sumar, podemos multiplicar y dividir entre ellos).<\/p>\n}

Dicha estructura guarda relaci\u00f3n con la geometr\u00eda del plano (rotaciones, traslaciones e inversiones); adem\u00e1s, esto permiti\u00f3 reescribir ecuaciones trigonom\u00e9tricas y describir curvas importantes de manera m\u00e1s simple: en el plano cartesiano una circunferencia unitaria con centro en el origen se representa por la ecuaci\u00f3n , mientras que en el plano complejo se representa por .<\/p>\n

Funciones y singularidades en el plano complejo<\/strong><\/p>\n

El estudio de fen\u00f3menos de tipo natural, social, econ\u00f3mico o te\u00f3rico que trabajan los matem\u00e1ticos normalmente se relaciona con funciones, en particular las funciones en el plano complejo. Sin embargo, la funci\u00f3n puede tener ciertas singularidades cuando no est\u00e1 bien definida. Riemann consider\u00f3 resolver este problema de manera geom\u00e9trica (proyecci\u00f3n estereogr\u00e1fica) al trazar una recta que pasaba por el punto del plano a considerar y por el polo norte de la esfera intersectando un solo punto en la esfera \u2013diferente al polo norte\u2013. Esta asociaci\u00f3n, junto con la elecci\u00f3n del polo norte con el punto al infinito, se denomina plano complejo extendido<\/em> o esfera de Riemann; <\/em>a estas singularidades se les llama polos. De esta forma, la esfera de Riemann encaj\u00f3 a la perfecci\u00f3n para entender el comportamiento de las funciones cerca de sus polos.<\/p>\n

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Hay otros puntos que son singularidades, conocidos como puntos de ramificaci\u00f3<\/em>n<\/em>, en los cuales una funci\u00f3n puede tomar m\u00e1s de un valor. Lo que se hace para estudiar este tipo de singularidades es doblar la esfera de Riemann en dos capas separadas, excepto en los puntos \u00a0y , este \u00faltimo siendo un segundo punto de ramificaci\u00f3n. Estas superficies se conocen como superficies de Riemann y su geometr\u00eda est\u00e1 completamente descrita en t\u00e9rminos topol\u00f3gicos \u2013es decir, la forma que tiene una superficie, que puede ser una esfera o un toro con un n\u00famero de agujeros llamado de g<\/em>\u00e9nero<\/em>\u2013 y nos provee de propiedades importantes de las funciones complejas.<\/p>\n

Una conjetura a resolver en el milenio<\/strong><\/p>\n

La conjetura de Henri Poincar\u00e9 (1854-1912), matem\u00e1tico y f\u00edsico franc\u00e9s, trata de la generalizaci\u00f3n de propiedades en superficies bidimensionales a superficies de dimensi\u00f3n 3. En 2000 el Instituto Clay de Matem\u00e1ticas present\u00f3 dicha conjetura como uno de los siete problemas del milenio que los matem\u00e1ticos del mundo deber\u00edan solucionar y para incentivar el trabajar en ellos se ofrece una recompensa de un mill\u00f3n de d\u00f3lares por la soluci\u00f3n de cada uno. En 2006, el matem\u00e1tico ruso Grigori Perelman (1966) resolvi\u00f3 la conjetura de Poincar\u00e9, convirti\u00e9ndola en teorema. A la fecha, es el \u00fanico de los problemas del milenio resuelto. Perelman rechaz\u00f3 el premio argumentando que no era ning\u00fan h\u00e9roe ni quer\u00eda ser expuesto de manera masiva. Como vemos, un matem\u00e1tico con car\u00e1cter retra\u00eddo cuya historia refuerza el estereotipo del matem\u00e1tico exc\u00e9ntrico.<\/p>\n

Versi\u00f3n PDF<\/a><\/p>\n

Docente Investigador de la Facultad de Matem\u00e1ticas de la Universidad Veracruzana.<\/p>\n

Correo: pacozam@msn.com<\/u><\/p>\n

Gr\u00e1ficas del autor im\u00e1genes de dominio p\u00fablico: by unknown – familienarchiv thomas schilling, public domain, https:\/\/commons. wikimedia.org\/w\/index.php?curid=22663572 public domain, https:\/\/commons.wikimedia.org\/w\/index.php?curid=255595<\/p>\n

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