REVISTA DE DIVULGACIÓN CIENTÍFICA Y TECNOLÓGICA DE LA UNIVERSIDAD VERACRUZANA
Volumen XXIII
Número 3
Editorial
Los aminoácidos, eslabones de vida
Para la hipertensión, la jamaica
El cerebelo y sus lesiones
Trypanosoma cruzi y endotelio: ¿paraíso o campo de batalla?
¿Síndrome metabólico o nuevas costumbres?
Utilidad de las redes en la prevención de epidemias
Los helechos y el bosque de niebla
Las semillas de la magnolia
La productividad ecosistémica: ¿una estrategia empresarial?
Biomonitores: desenmascarando a los tóxicos
Tecnologías de la información y cambio climático
Y la simetría, ¿qué es?
CUENTO / Legado sombrío
DISTINTAS Y DISTANTES, MUJERES EN LA CIENCIA / Sofia Kovalevskaya o el camino poético de la matemática
CURIOSIDADES CIENTÍFICAS / El Camino de la Ciencia en Veracruz
NUESTROS COLABORADORES EN ESTE NÚMERO
Contenido
 

Y la simetría, ¿qué es?

José Sergio Durand Niconoff, Luis Cruz Kuri,
Rocío Romero Patiño, Óscar García Barradas
y Samuel Cruz Sánchez

“¿Qué puede parecerse más a mi mano o mi oreja
y ser más igual en todos los puntos que su imagen en el espejo?
Y, sin embargo, no puedo poner la mano que veo en el espejo
en lugar de su original”.
E. KANT
(Prolegómenos a toda metafísica futura).

Cuando se escucha la palabra “simetría” viene a la mente la idea de armonía, equilibrio entre las partes y el todo, y generalmente la asociamos con orden y belleza. Por su origen griego (sun: con; metron: medida), significa “con medida”, y, de acuerdo al pensamiento griego, el estudio de la simetría proporciona criterios para describir la belleza de los objetos. ¿Cómo relacionar esta idea con proposiciones tales como “la simetría de las leyes de la naturaleza”, “compuestos químicos simétricos o asimétricos”, “síntesis asimétrica”, etcétera? Si bien el concepto de simetría indica belleza y armonía y su contemplación despierta sentimientos agradables, las afirmaciones anteriores muestran que el concepto actual de simetría debe ir más allá de la mera idea intuitiva de armonía.

Los matemáticos piensan acerca de la simetría de una manera muy diferente a como la conciben los arquitectos y los artistas. El concepto matemático de la simetría es muy preciso y específico, y no tiene mucho que ver con la idea general que el lego tiene. Más bien, corresponde al entendimiento de cómo, al seleccionar un objeto matemático, después de moverlo o rotarlo transformándolo de nuevo, una persona, si no hubiera estado observando cuando se hizo lo anterior, no se daría cuenta de que se realizaron esas manipulaciones. En este sentido, las simetrías de un objeto son las transformaciones que llevan a ese objeto a que se vea igual. Como una ilustración adicional, pensemos en un ejemplo de la arquitectura: el lado izquierdo de un edificio se ve igual al lado derecho. El matemático diría:

Así es como las simetrías de ese edificio (las transformaciones importantes) corresponden a una reflexión de lo que está en la parte izquierda, al lado derecho y viceversa. Y cuando se dice que el lado izquierdo “se ve igual” que el lado derecho, lo que se quiere dar a entender es que, al hacer la reflexión del edificio completo, no se puede distinguir que haya habido nuevos cambios.

Veamos otros ejemplos geométricos: el triángulo equilátero y la circunferencia de la figura 1.

figuras
Figura 1

Imaginemos un eje que pasa por el centro del triángulo y que es perpendicular a él. Si se hace un giro de la figura de 120° alrededor de este eje, se obtendrá una figura indistinguible de la inicial; lo mismo sucede si se hace un giro de 240° o uno de 360°. En este caso, se dice que el triángulo equilátero posee simetría de rotación asociada a estos ángulos de giro. Lo mismo observaremos si colocamos un espejo plano de manera que uno de sus bordes coincida con cada línea punteada y que, además, sea perpendicular al plano de la figura, esto es, que contenga al eje mencionado anteriormente. Se observará que la parte del triángulo que queda frente al espejo, junto con la imagen producida, forma el triángulo original. Equi-valentemente, se podría decir que la parte plana que queda frente al espejo se podría deslizar y después girarla en el espacio para que se pueda superponer y coincida punto por punto con su imagen. En este caso se dice que el triángulo equilátero posee simetría bilateral o de reflexión, y a cada una de las líneas punteadas, sobre las que se coloca el espejo plano, se les llama eje de simetría bilateral.

La circunferencia en la figura 1b tiene también, al igual que el triángulo equilátero, un eje de rotación que pasa por el centro de la figura y es perpendicular a la misma. Pero, a diferencia de lo que sucede con el triángulo equilátero, que tiene simetría de rotación únicamente para los ángulos de giro de 120°, 240° y 360°, la circunferencia se puede hacer girar alrededor de su eje cualquier ángulo y se obtendrá una figura indistinguible de la original. La circunferencia también se distingue por poseer un número infinito de ejes de simetría bilateral, ya que cualquier segmento de recta que pase por su centro y una a dos puntos de la circunferencia será un eje de simetría bilateral.

Si al triángulo equilátero se le marcan de manera distinta dos de sus vértices (por ejemplo, coloreando de rojo (r) uno y azul (a) al otro, como en la figura 1c), la figura que se obtiene es asimétrica, lo que significa que no hay transformación, ningún giro o reflexión, salvo la identidad que nos dice “no le hagas nada”, es decir, que deje la figura indistinguible.

La figura 2 muestra un relieve mixteco precolombino. Aquí se puede observar un tipo de simetría diferente al observado en el triángulo equilátero y la circunferencia. El tipo de simetría que involucra traslación, un motivo o base que se repite a intervalos regulares. Para explicarlo, imaginemos que nos podemos colocar sobre un punto cualquiera del relieve, al que podemos considerar como punto de partida. Al estar en esta posición se podrá observar un entorno alrededor de dicho punto; si ahora nos movemos a lo largo de una dirección que es una “suma de múltiplos enteros de direcciones elementales”, llegaremos a otro punto cuyo entorno es indistinguible del que “se observa” desde el punto inicial. Cabe aclarar que esto sucede siempre y cuando no existan los márgenes del relieve, esto es, que se extienda indefinidamente a lo largo de todo el plano donde está contenido. Este es el tipo de simetría observada en las estructuras cristalinas.

mixteco
Figura 2. Relieve mixteco.

Como ilustración geométrica adicional, si vemos, por ejemplo, al cubo de la figura 3 como un sólido regular, podemos preguntarnos cuáles son las simetrías de ese cubo. Podemos decir con bastante precisión que el cubo tiene 48 simetrías distintas (según la definición precisa de simetría como una transformación que deja invariante al objeto, concepto que se describirá adelante con más detalle). Por el momento, se puede decir que eso constituye una forma de caracterizar matemáticamente al cubo, y cualquier cosa que tenga las mismas simetrías (figura 4) será un objeto que esencialmente puede pensarse como un cubo; de esta manera, son 48 simetrías las que caracterizan al cubo. Esto constituye un principio unificador.

Por otra parte, los físicos han desarrollando teorías bastante precisas acerca de cómo realmente funciona el mundo que nos rodea. Por ejemplo, Isaac newton estuvo trabajando con las teorías gravitacionales del movimiento. Maxwell continuó con la parte clave sobre el establecimiento de las ecuaciones para la electricidad y el magnetismo, ecuaciones que primero se escribieron para dos fenómenos separados (la electricidad y el magnetismo, respectivamente), y que en un corto periodo se volvieron una sola teoría de electromagnetismo. Es así que dos teorías físicas distintas se lograron unificar en términos de las leyes matemáticas que gobiernan dichos fenómenos. Lo que sigue después corresponde a la descripción de cómo la teoría de la relatividad de Einstein, por un lado, y la de la mecánica cuántica, por otro –teorías ambas que constituyen partes bastante modernas de la física y, todavía más recientemente, de las teorías del todo, las cuales tratan de unificar de manera global–, pretenden establecer un entendimiento profundo del mundo físico.

Tales propuestas constituyen facetas de lo que ahora vemos en términos de teorías matemáticas y del concepto de simetría en particular. El concepto técnico que aparece en todo esto es el de grupo, idea fundamental que fue desarrollada durante el periodo de la Revolución Francesa por el matemático Evariste Galois. Es así que esta idea de grupo tiene que ver con una operación de composición de transformaciones, la cual es “cerrada” en el sentido de que dicha composición de transformaciones produce otra transformación que nuevamente pertenece al grupo.

Lo anterior es la generalización del tipo de simetría que deja a un lado las figuras geométricas y que considera ahora el mundo físico. A continuación se presentan algunos comentarios adicionales. Imaginemos a dos científicos, cada uno de ellos en su propio laboratorio, que como resultado de su investigación descubren leyes de la naturaleza, esto es, reglas o “transformaciones” que describen cómo evoluciona naturalmente cada sistema físico de un estado inicial a cualquier otro estado final. Si las observaciones de ambos científicos se relacionan por “cierta transformación”, y con esto se quiere decir que cualquiera de ellos no necesita estar en el lugar del otro para saber de sus resultados, le bastará conocer la “transformación” y sus propios resultados para determinar los de su colega. Si las leyes descubiertas son las mismas para ambos y se cumplen para cualquier pareja de observadores relacionados por la misma transformación, a esta se le conoce como “transformación de simetría de las leyes de la naturaleza”. Por ejemplo, ambos científicos realizan el mismo experimento simultáneamente en su laboratorio, y la única diferencia es la transformación entre ellos, que consiste en que sus laboratorios están separados por una distancia, es decir, que se tiene una transformación espacial entre ambos laboratorios. De igual manera, si los científicos realizan el mismo experimento en el mismo lugar pero en tiempos distintos (digamos que uno lo hace a las diez de la mañana y el otro tres días después), la transformación que relaciona a ambos es de tipo temporal. Existen transformaciones que combinan desplazamientos espaciales y temporales; en este caso, los dos científicos, por ejemplo, se estarían moviendo uno respecto al otro con velocidad constante. Si la velocidad es comparable en magnitud a la de la luz, las transformaciones se conocen como “grupo de transformaciones de Lorentz”; si la velocidad entre ambos laboratorios es pequeña comparada con la de la luz, el grupo de transformaciones es de Galileo y es un caso límite del de Lorentz. Supongamos que un científico tiene su laboratorio a la orilla de una carretera y el otro tiene el suyo en un autobús apropiado y viaja a velocidad constante de magnitud 80 km/h. Esta rapidez es aproximadamente de un millonésimo de la que tiene la luz, por lo que los científicos quedarán relacionados por el grupo de transformaciones de Galileo. Las leyes a la orilla de la carretera serán idénticas a las que se descubran por quien viaja en el camión.

cubo
Figura 3.Cubo y varios ejes de simetría de rotación.

cubo
Figura 4. Cubo y varios planos de simetría.

¿Qué tantas transformaciones se pueden hacer a un fenómeno físico en un experimento sin modificar los resultados? Pueden ser varias, como las ya mencionadas: la transformación de desplazamiento espacial, que aplica todos los puntos del espacio en otros puntos que están alejados de los primeros la misma distancia en la misma dirección; la transformación de rotación, que coloca todos los puntos del espacio en otros puntos determinados por la rotación de un ángulo común alrededor de un eje fijo común; la transformación de reflexión a través de un plano, es decir, a través de un espejo plano, de ambos lados y fijo; la transformación de desplazamiento temporal, bajo la cual un intervalo de tiempo se transforma en sí mismo un lapso de tiempo después; la transformación de inversión temporal, etc. El entendimiento matemático de la simetría adquiere ahora una nueva manera de verlo: hay un nuevo objeto, a saber, el grupo de Lorentz y las nuevas clases de transformaciones de Lorentz, las cuales son parte de una categoría más amplia que se conoce como los grupos de Lie, que son los que realmente se utilizan en la física. Son estos tipos de transformaciones los que surgen en el trabajo de Einstein, si bien los grupos de Lie fueron estudiados en forma anticipada por los matemáticos antes de que Einstein los utilizara.

Tal y como ya se ha adelantado, el conjunto de transformaciones que dejan invariante al sistema (sea este una figura geométrica, las leyes de la naturaleza, una estructura cristalina, etc.) forman una estructura matemática conocida como grupo, el grupo de todas las transformaciones de simetría de un sistema. De ahí que la matemática de la simetría sea la teoría de grupos. En los ejemplos anteriores se nota una idea intuitiva esencial: “un objeto es simétrico si existe algo (una transformación) que se le pueda hacer, de tal manera que quede igual antes y después de la manipulación”.

De particular importancia en nuestro mundo cotidiano es el ejemplo mencionado de la reflexión de un objeto a través de un espejo plano; éste y su imagen reflejada se ven iguales, en el sentido de que el objeto y su imagen se pueden superponer punto por punto y coincidir; es decir, el objeto permanece invariante ante tal transformación, y decimos entonces que tiene simetría de reflexión. El diseño de la mayoría de las obras arquitectónicas que nos parecen bellas involucra este tipo de simetría. Lo mismo sucede con prácticamente todos los objetos de uso cotidiano, como electrodomésticos, platos, vasos, muebles y demás, lo que se debe tanto a razones prácticas como estéticas. En contraste, los objetos que al reflejarse en un espejo plano no pueden superponerse a su imagen serán asimétricos (respecto a la reflexión). Esta clase de asimetría nos conduce a objetos relacionados tal y como lo están nuestras manos: la mano izquierda es la imagen especular de la mano derecha, y un aspecto importante es que cuando tratamos de sobreponer dichas imágenes no podemos hacerlo. Cada mano es un objeto asimétrico, de tal forma que cuando dos objetos asimétricos que guardan una relación de imágenes en el espejo no pueden sobreponerse exactamente una con la otra se dice que presentan quiralidad. El término quiralidad deriva de la raíz griega quiros, que significa mano, y es aplicable a prácticamente cualquier objeto que presente esta conducta (Figura 5).

A los objetos que se relacionan de igual forma que las manos se les denomina enantiomorfos, y como ejemplo tenemos los pies, las orejas y los tornillos, por mencionar algunos.

Entre los objetos que no poseen el tipo de simetría por reflexión, cabe destacar algunos compuestos químicos, cuyas moléculas no son superponibles a su imagen especular: los compuestos enantioméricos. Un par de ellos tienen las mismas propiedades físicoquímicas, excepto que de alguna manera distinguen derecha e izquierda. El artilugio para tal distinción es la luz polarizada (Figura 6).

Para obtener tal luz, se hace pasar la luz solar o la de un foco a través de un dispositivo llamado polarizador. En la figura se indica con un conjunto de flechas la no polarización de la luz que proviene de esa fuente; en forma esquemática se ve en la figura el polarizador como un tamiz que únicamente deja pasar la luz que tiene asociada a su naturaleza un solo plano, en este caso vertical, indicándose con esto que la luz obtenida automáticamente adquiere la propiedad de estar polarizada. Cuando esta luz polarizada penetra en el tubo donde se encuentra la muestra de enantiómero, la flecha asociada gira respecto a la vertical un ángulo que se mide con el analizador, tal y como lo percibe un observador que mira hacia la fuente.
En el ejemplo de la figura, la luz polarizada es desviada a la izquierda de dicho observador; cuando esta luz etiquetada pasa a través de una solución de moléculas enantioméricas de un compuesto, sucede que no se desvía ni a derecha ni izquierda, pero de este aglomerado podemos separar cada uno de los enantiómeros cristalizando, por ejemplo, una solución de ellos y preparando dos soluciones que contengan cristales de la misma clase; así, la luz polarizada se desvía a la derecha o izquierda, según pase por una u otra solución. Éste es en esencia el célebre experimento de Pasteur con el ácido tartárico y el ácido racémico; el primero es un compuesto que siem-pre se encuentra en las uvas y otras frutas y cuya solución hace girar la luz polarizada de cierta manera, en tanto que el segundo es otra forma del ácido tartárico exactamente igual en todas sus propiedades, excepto que no hace girar la luz polarizada. Pasteur descubrió que el ácido racémico era una mezcla de moléculas derechas e izquierdas del ácido tartárico, y pacientemente se encargó de separar los cristales tanto de derecha como de izquierda con la ayuda de un microscopio; al formar soluciones de cada uno de ellos,observó que cada solución hacía girar la luz polarizada: una a la izquierda y la otra a la derecha.

manos
Figura 5

Polarímetro.
Figura 6. Polarímetro.

También descubrió otra forma de hacer tal separación. Para ello, cultivó un moho dentro de la solución de ácido racémico; después de un tiempo en presencia del moho, el ácido racémico pasó de un comportamiento inactivo ante la luz polarizada a uno activo, lo que provocó una desviación del plano de la luz polarizada. El moho había consumido las moléculas de ácido racémico de cierta clase o “mano”, dejando las de la otra; es decir, el moho se podía nutrir con moléculas de una mano pero no con las de la otra.
Este comportamiento también se observa en los seres vivos en general, y actualmente se sabe que el proceso de metabolismo distingue entre moléculas izquierdas y derechas. Tal es el caso de los aminoácidos, donde sólo pueden ser aprovechados los de mano izquierda y los carbohidratos, de los que sólo los de mano derecha pueden ser utilizados. Este gran descubrimiento ya tiene importantes aplicaciones; por ejemplo, en la tecnología de alimentos se produce un azúcar que, aunque la consuma una persona, su organismo no la aprovecha por no tener la mano apropiada, evitando así problemas de sobrepeso.

Asimismo, en la industria farmacéutica se conoce un sinnúmero de ejemplos en los que únicamente uno de los enantiómeros es capaz de desencadenar el efecto farmacológico deseado, mientras que el otro enantiómero resulta inactivo en el mejor de los casos.

La producción sintética de moléculas con una mano específica se conoce como “síntesis asimétrica” y consiste en que una reacción química es capaz de dar lugar a la formación de moléculas de una mano determinada, pero no de la otra, que en principio también es posible que se forme. En este sentido, tal proceso resulta selectivo en cuanto a la formación de un tipo determinado de molécula, pero no de otros.

Finalmente diremos que la importancia de la simetría está más allá de toda duda; su entendimiento y manipulación permitirán un mejor conocimiento y eventuales aplicaciones del mismo para beneficio de la humanidad, y eso sin contar con toda la belleza que es capaz de generar.

enantiomorfos
Figura 7. Cristales enantiomorfos.