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La relación de consecuencia lógica

Jorge Felipe Novoa Gastaldi

A menudo la lógica clásica se orienta al estudio de aquellos principios que permiten distinguir los argumentos correctos de los incorrectos. Al menos es esto lo que la mayoría de los manuales de lógica tienen escrito en sus primeras líneas. En principio,  podemos decir que la tarea de la lógica es esa; no obstante, el lógico (o al menos el lógico teórico, aquel individuo dedicado al cultivo de la lógica) tiene aún una tarea más amplia: la de esclarecer y dejar totalmente explícitas las nociones básicas que nos orillan a afirmar que tenemos principios que regulan y prescriben los argumentos. Y es aquí cuando surgen los problemas. Nos dicen cómo debemos argumentar, cómo construir con rigor un sistema axiomático o presentar con ese mismo rigor y elegancia una ciencia bajo el encadenamiento lógico, pero pocos manuales intentan esclarecer nociones tan básicas que operan en el proceder lógico como la llamada “relación de consecuencia lógica” y, unidos a esta relación, los conceptos de verdad, verdad lógica, forma lógica y necesidad. No digo con esto que nadie haya pretendido aclararlo alguna vez. Los grandes creadores de la lógica (por ejemplo, Aristóteles, Frege y Tarski) intentaron teóricamente esclarecer esas nociones básicas. En este sentido, el objeto de este artículo es simplemente académico: rescatar lo básico que se ha dicho en torno a la relación de consecuencia lógica, algo que olvidan muchos manuales que sólo muestran a la lógica desde el punto de vista práctico, olvidando ese lado teórico. Además, pretendo mostrar un problema para poder definir esta relación.

Desde la filosofía ática (más precisamente, desde Aristóteles) y hasta hace algunos años, el concepto de consecuencia lógica fue caracterizado bajo dos atributos: modalidad y formalidad. Por lo menos, Aristóteles –quien fue el primero que intentó dar una definición a tal relación – caracterizó al concepto de esa manera. Posteriormente, hasta el siglo XIX, Frege logró un avance sustancial en el esclarecimiento de dicha relación desde el punto de vista formal.

Intuitivamente, existe una definición de consecuencia lógica. En general, la consecuencia lógica es una relación entre un conjunto de oraciones (eventualmente un conjunto unitario) que funcionan  como premisas, y otra oración que es sostenida como conclusión de esas premisas. Aún más, decimos que esa relación es una relación de consecuencia lógica cuando no es posible que la conjunción de todas las premisas sea verdadera y la conclusión falsa; en otras palabras, si la conjunción de las premisas es verdadera, entonces necesariamente la conclusión debe ser  verdadera. Tomemos como ejemplo el siguiente:

Juan es hombre.
Luego, Juan no es inmortal.

Este argumento es intuitivamente correcto; si la única premisa que  tenemos es verdadera, se sigue necesariamente la verdad de la conclusión. No hay problema en afirmar con verdad esta relación. La conclusión se sigue necesariamente de la premisa. Pero no se sigue lógicamente. ¿Por qué?

Desde sus comienzos, la lógica fue diseñada como un organón de las ciencias. La lógica es un simple método sin objeto alguno más que sí misma. Por ser un simple método, no tiene algún objeto de estudio en particular, y su tarea es prescribir cómo se debe estructurar una ciencia. Dicho de otro modo, la tarea de la lógica es la de construir armazones sin tomar en cuenta el contenido de esos armazones. Análogamente, así como a la gramática no le interesa el contenido sino el orden de las palabras (pues el contenido es tarea de la semántica), la lógica se orientó desde sus orígenes a la tarea de ordenar, no de determinar el contenido de lo que ordenaba (la tarea de las ciencias era determinar ese contenido).

Así, es posible que en el ejemplo anterior haya una conexión inferencial entre ambas oraciones; incluso es posible que esa conexión se dé necesariamente, pero lo es por el significado de dichas oraciones. De la verdad de “Juan es hombre” se sigue necesariamente la verdad de “Juan no es inmortal”, pues el hecho que Juan tenga el atributo de ser hombre, y este atributo se defina con exclusión de que los que lo cumplan trasciendan más allá de la muerte, apoya la conclusión de la falsedad de que Juan tenga el atributo de inmortalidad.1 De este modo, la conexión de ambas oraciones es necesaria (dada por definición), pero no lógica.

El ejemplo anterior muestra la falta de un elemento que determina a dicha relación y que le da a la lógica la calidad de herramienta de orden: la formalidad. Desde Aristóteles, se trató de orientar a la lógica a partir de este atributo que, en teoría, es lógicamente independiente del atributo de  modalidad, y que se define como sigue: si en un argumento una oración es consecuencia lógica de un conjunto de premisas, entonces cualquier argumento que tenga la misma forma es un argumento en el que la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas. Pero un argumento puede tener más de una forma posible para examinar; en este caso, basta que dicho argumento tenga la misma forma de una forma lógicamente válida para que sea un argumento correcto. Si se cumple lo anterior, es un argumento en el que la conclusión es consecuencia lógica de sus  premisas en virtud de su forma.

Reexaminemos el ejemplo anterior. En símbolos, proponemos la siguiente forma2 de dicho ejemplo:

x es H.
Luego, x no es I.

donde “x” representa en este caso un lugar vacío en el cual colocamos únicamente  constantes nominales. O bien, en lenguaje proposicional, proponemos el siguiente:

p
Luego, ¬q

En estos ejemplos de formas, basta con un ejemplo de sustitución para mostrar que dichas formas no garantizan que una oración sea consecuencia lógica de otra(s):

Thom es animal.
Luego, Thom no es caballo.

Este ejemplo sigue las dos formas antes explicitadas, y aunque pueden ser verdaderas ambas oraciones, no hay una conexión lógica entre ellas; ninguna de esas formas muestra alguna conexión lógica (en este caso, porque no es necesario que si se da la premisa, se infiera la conclusión). Supóngase que estas son las únicas formas que es posible obtener de tales ejemplos. Luego, si ninguna forma del argumento asegura que la conclusión se siga lógicamente de la(s) premisa(s), entonces el argumento es incorrecto.

Con esto notamos que la relación de consecuencia lógica es distinta de la relación de consecuencia en sentido general, pues tiene los atributos ya mencionados, no así las demás. Por ejemplo, hay consecuencia cuando una teoría, de acuerdo a lo que postula, predice ciertos acontecimientos. Decimos que esos acontecimientos son consecuencia de los principios intrínsecos de la naturaleza que han logrado representarse en dicha teoría. Supóngase que en estos momentos cae el capitalismo. Desde el punto de vista de la teoría marxista, este suceso es consecuencia de la teoría marxista. Sin embargo, estos ejemplos no muestran una característica que es necesaria para definir la  consecuencia lógica, a saber, la formalidad (aunque desde el punto de vista modal o definicional se cumpla).

Hay casos en los que se cumple o bien necesidad o formalidad, pero no ambos. Desde el punto de vista clásico, estos no son casos de consecuencia lógica. No hay formas o modalidades que  garanticen por sí solas la consecuencia lógica. Supóngase el ejemplo: “Si todo hombre es soltero, entonces todo hombre es no casado”. Naturalmente, diríamos que dicha inferencia es correcta. No obstante, formalmente no se sigue la conclusión de la premisa. Esto se muestra con el siguiente ejemplo de sustitución: “Si todo pájaro es un animal que vuela,  entonces todo pájaro es no vivíparo”. Formalmente:

Si todo H es S.
Entonces todo H es no C.

En la sustitución del segundo ejemplo no se cumple que si se da lo primero, se sigue lo segundo. Así, esta forma no es un caso de consecuencia lógica, pues en algunas de sus instancias no se cumple la modalidad de la necesidad: que de premisas verdaderas necesariamente se sigue una conclusión verdadera. De esta manera, ambas condiciones son condiciones necesarias para que se dé la consecuencia lógica.

Bajo la definición mencionada en la introducción de este artículo, la lógica clásica es considerada   como una herramienta de orden, sintaxis pura, reguladora del proceder argumentativo y limitada en el tema de la verdad o la falsedad de las oraciones. Trata sobre los argumentos y su corrección, no sobre las partes de los argumentos y su contenido. Empero, lo anterior se tornó en un prejuicio que atenuó durante un tiempo la investigación de los supuestos semánticos teóricos que sostienen a la lógica. La lógica es formal, pero se olvidó a menudo que hay una teoría referencialista de la verdad en la cual se funda la lógica que puede poner en duda su calidad puramente formal.

Toda oración en modo indicativo es una oración susceptible de ser verdadera o falsa, y todo  argumento está compuesto por al menos dos oraciones: una (o más) que es base para afirmar otra. Si son argumentos lógicamente correctos, entonces cumplen con ser argumentos modal y formalmente correctos y, por tanto, argumentos en los que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas. Para evaluar los argumentos necesitamos reglas lógicas que, por un lado, sean  formalmente correctas, y por otro, que preserven la verdad de las premisas en la conclusión. Surge entonces la cuestión: ¿cómo determinar qué reglas son modal y formalmente correctas para evaluar los argumentos?

La teoría referencialista de la verdad es, en términos sencillos, un caso de teoría correspondentista. Cualquier oración tiene sentido si y sólo si refiere algo real. Si no refiere, es un sinsentido. Esta postura la tenían los filósofos del Círculo de Viena allá en los años veinte. En particular, Wittgenstein fue más lejos en su Tractatus: inventó las tablas de verdad. Estas tablas presuponen que los componentes de los argumentos, las oraciones, son verdaderos o falsos en virtud de su  referencia. A partir de los componentes determinamos el valor de los conectores del argumento y verificamos si el conector principal termina evaluado como una tautología o una verdad lógica. Como ejemplo, la regla llamada modus tollens:

P
Q
[(P→ Q)^¬Q ]→ ¬P
V
V
V V V F F V F
V
F
V F F F V V F
F
V
F V V F F V V
F
F
F V F V V V V

La tabla de verdad muestra que el conector principal tiene asignación verdadera para cualquier interpretación. Esto quiere decir que 1) si tenemos un enunciado como ese, formalmente es una  verdad lógica; 2) en sentido argumental, si tenemos “(P→Q)” y “¬Q”, entonces se sigue, en virtud de esa forma y necesariamente, “¬P”, 3. En sentido argumental, en ninguna de las asignaciones se da el caso de que todas las premisas sean verdaderas y la conclusión no.

Retomemos el sentido argumental de la tabla de verdad. Tenemos una justificación para determinar qué reglas hay que usar como reglas que aseguran que, en un argumento, la conclusión es  consecuencia lógica de sus premisas. Los manuales de lógica justifican de esa manera qué reglas son usadas para proceder  lógicamente3. Llegados a este punto, no es difícil notar un problema semántico en la tan fastuosamente llamada lógica formal. Problema, porque no existe algún otro método que no sea semántico (sólo las tablas de verdad) para elegir entre una regla y otra. Sólo a través de la valoración –en este caso, de la valoración veritativa (en otros cálculos, la valoración puede ser n-valente y no necesariamente  veritativa)– elegimos entre una forma de los argumentos y otra, mientras los manuales nos dicen que la lógica, por ser formal, no tiene algún fundamento no sintáctico, es decir, semántico.

Este problema semántico se relaciona con uno de los atributos de la relación de consecuencia lógica, a saber: la modalidad. Recordemos que este atributo remite a la preservación de la verdad: de premisas verdaderas se sigue necesariamente una conclusión verdadera. En teoría, la forma y el modo de un argumento son condiciones lógicamente independientes para determinar su validez. Al ser así, no dependen una de otra, y si tienen fundamento, este no es el mismo: no se obtiene uno a partir del otro. No son  interdefinibles, en todo caso. Pero lo que muestran las tablas de verdad es que para determinar si una forma es válida y se utilice como una posible regla de derivación, se necesita verificar que de premisas verdaderas se siga necesariamente una conclusión verdadera; es decir, para determinar la forma tenemos que  examinar el modo en como se da la relación de consecuencia. Y al examinar primero el modo en como se da, examinamos las partes y su valor veritativo. Por tanto, un argumento cuya forma es válida lo es porque preserva la verdad de las premisas en la conclusión de manera necesaria.

Pero entonces, ¿así se define la relación de consecuencia lógica? Si sólo tiene un atributo básico, que es la modalidad, y la formalidad se determina por aquél, entonces la lógica ¿no es pura herramienta de orden? Entonces, ¿se fundamenta en la verdad y, por tanto, en la semántica? ¿Será posible, en consecuencia, una definición sintáctica de consecuencia lógica? ¿Pero cómo, si sus reglas se determinan semánticamente, si las formas se determinan por los modos? Aún en la  actualidad es este un problema.

Se cree, por lo pronto, que una definición sintáctica de consecuencia lógica es equivalente a una  semántica y hay pruebas matemáticas de ello: la prueba de correctud, que señala que todo argumento es válido si y sólo si es derivable. Pero fuera de la prueba matemática, parece que la intuición o el sentido común nos muestran que esa correctud es falsa; que es posible un caso en el cual un argumento sea válido, cuyas premisas impliquen necesariamente su conclusión, y que sea un caso de consecuencia lógica, pero que no sea derivable, es decir, que no existan reglas formales para derivar la conclusión.

Supongo que, como individuos racionales, preferiremos la prueba matemática. Pese a ello, quizás sea necesario reexaminar estas nociones básicas, reformularlas o redefinirlas, de tal manera que se supere este problema y podamos hablar de una lógica “realmente” formal, o reconocer el lastre semántico que se tiene y dejar de pensar a la lógica como pura sintaxis.

1 Otra manera de decir esto es que, por definición, la conclusión se sigue de la premisa.
2 La forma se obtiene al sustituir constantes no lógicas por constantes no lógicas de manera uniforme. Por lo que las constantes lógicas (los conectores, cuantificadores o cualquier elemento que solo tenga una una interpretación fijada) son insustituibles.
3 De esa manera se justifica el uso de las reglas del cálculo proposicional, en particular. Las reglas del cálculo de primer orden no se justifican en las tablas de verdad, pero al examinar la manera como se usan, podemos determinar que tienen también un lastre semántico. Por ejemplo, para validar la regla de especificación universal, necesitamos verificar que, en efecto, todos y cada uno de los elementos que son alcanzados por el cuantificador universal cumplen con lo que se predica tanto en la oración universal como en cada especificación enunciada en cada oración singular. De esa manera, de la premisa inferimos lógicamente su conclusión si verificamos que la verdad de la conclusión es preservada. Y se justifica así la corrección de esta regla formal.