Editorial
       
      Las matemáticas en la Estética
     
      Neurotoxinas: entre la muerte y el éxtasis
     
     

Biocombustibles: su uso y relación con el calentamiento global

     
      Los ladrillos cocidos y el aceite quemado
     
      Alias el mapache
     
      Plantas mágicas o curativas: cataplasmas, emplastos, tés y cocciones
     
      ¡A movernos! ¡basta de sedentarismo!
     
      La parálisis cerebral
     
      La Depresión
     
     

Bases biológicas del suicidio

     
      La depresión y el proceso creativo
     
      ENTREVISTA
      Manuel Martínez Morales:
necesario socializar el conocimiento
     
      TRADUCCIÓN
      Conservación internacional:
privatizando la naturaleza y robando biodiversidad
     
      DISTINTAS Y DISTANTES: MUJERES EN LA CIENCIA
      María la Hebrea:
la alquimia como ciencia experimental y el preludio de la química
     
      CURIOSIDADES CIENTÍFICAS
      La suma de todos los premios
   
 
     

Las matemáticas en la Estética

Ramón Ortiz Fernández

Representando a la realidad

A lo largo de su historia, el hombre ha tratado de representar lo que lo rodea de distintas maneras y utilizando para ello una gran variedad de técnicas. Esas representaciones han tenido diversos fines y, por lo tanto, han tomado formas acordes a estos objetivos. Desde las pinturas rupestres más antiguas, con sus primigenios esbozos de una creatividad artística, aun y cuando su verdadera finalidad debió ser más cercana a una representación mística o mágica de la naturaleza que al deseo de satisfacer una necesidad estética, el hombre ha dado señales de que la representación, la imitación o la duplicación de su entorno constituyen formas de tener una mejor comprensión de una realidad que muchas veces lo desborda y que parece ser simplemente devastadora.
Sin embargo, esta representación no ha sido sólo de índole pictórica o plástica, sino que ha ido más allá, a terrenos más complejos y sutiles, como el de la lengua articulada, mediante la cual también pudo representar su entorno, e incluso fue capaz de llegar a construcciones tan elaboradas como las teorías científicas modernas, las cuales no son otra cosa que representaciones de la realidad mediante las que pretendemos tener un conocimiento más amplio de nuestro universo.
Así, el hombre, a lo largo de su evolución milenaria, ha venido construyendo formas cada vez más complejas para representar, comunicar y finalmente entender su medio ambiente. Los caminos que ha seguido para ese propósito han sido muchos y en su mayoría muy intrincados, pero todos están orientados en alguna de tres grandes direcciones: por un lado, el arte, que apela a un entendimiento emocional; por otro, la religión, con su acercamiento místico, y por otro la ciencia, que busca encontrar respuestas siempre a través de la razón. Arte, religión y ciencia son entonces esas tres grandes direcciones por las cuales el hombre ha emprendido su búsqueda de conocimiento. Pero sería un error pretender que esas direcciones corran paralelas, que no se toquen o que sean totalmente ajenas entre sí. Por el contrario, las ramificaciones y puntos de contacto entre las diversas vías por los que el hombre ha intentado comprender mejor su entorno hacen que muchas veces sea imposible decir si la guía principal era la ciencia, el arte o la religión. Incluso estas tres grandes guías se han mezclado entre sí a lo largo de la historia e incorporado elementos de las otras para la construcción de sus ideas. Un ejemplo de esto es la manera en que las matemáticas, y en particular la geometría, se fueron incorporando a las representaciones artísticas de varias culturas en distintas partes del mundo, hasta formar parte importante de los propios cánones estéticos.

En busca del orden perdido

Las matemáticas son una manera abstracta de representar el mundo. La idea básica que hay detrás de ellas, al menos en su génesis, es la de simplificar mediante generalizaciones ciertas características de los objetos que conforman el universo, características que en primera instancia podrían parecer como necesarias para el mundo físico, como la forma o el número. Hasta donde la evidencia nos permite conocer, todos los pueblos que han pisado la tierra en algún momento han llegado a tener un cierto grado de desarrollo matemático. Quizás algunos de los pueblos de la antigüedad no hayan ido más allá de esbozar la idea de cantidad, pero existen pruebas de que otros lograron formidables avances en las matemáticas 2 .
Otro de los rasgos distintivos de las diferentes culturas que han existido a lo largo de la historia ha sido el arte. Sin importar si ha sido motivado por fines pragmáticos, mágico-religiosos o por el solo hecho de buscar un placer estético, el ser humano ha dejado múltiples muestras de su paso por la tierra a través de objetos o mediante la manipulación o intervención de su medio ambiente, y en ello ha dejado plasmada su creatividad. Estas manifestaciones, que no son otra cosa que representaciones físicas de la naturaleza o de la forma en la que el humano la interpreta, alcanzan, al igual que las matemáticas, desarrollos desiguales entre las distintas culturas de las que se tiene noticia. Sin embargo, entre las culturas que alcanzaron cierto grado de desarrollo matemático o artístico empiezan a aparecer vinculadas ambas formas de representación, lo que de ninguna manera es gratuito.
El orden es y ha sido algo indispensable para el ser humano. Desde los albores de la humanidad, nuestra especie ha dependido de su capacidad para establecer o encontrar un orden dentro de la naturaleza para poder sobrevivir. Sin un orden en su entorno, nuestros antepasados hubieran sido incapaces de establecer de forma rápida los lugares que les podían servir de abrigo, los que eran peligrosos, los que escondían presas para el sustento de sus tribus primigenias. Sin este orden tampoco hubieran podido conocer las plantas que podían comer y las que no, los momentos que eran propicios para cazar o cuando tenían que migrar en busca de nuevo sustento.
Conforme el hombre fue evolucionando, y en la medida en que su cultura se fue haciendo cada vez más y más compleja, el orden dentro de la vida del ser humano se hizo también más difícil de establecer y mantener. Aun así, siempre ha habido entre nosotros ese anhelo de poder encontrar en nuestro medio, cada día más enmarañado, un orden que permita simplificar nuestra existencia y devolvernos un poco de esa paz que creemos perdida.
Si bien es cierto que el arte por sí solo es capaz de conducirnos a ese estado de paz interior, también lo es que las matemáticas nos proporcionan una poderosa herramienta para conseguir un orden armónico y simple.
Las primeras representaciones artísticas de las que se tiene noticia son apenas sencillos esquemas de bestias y hombres, y corresponden a esa época en la que el hombre prácticamente todavía no salía de ese paraíso, posteriormente perdido, en el que podía encontrar un orden natural de las cosas que lo rodeaban. Conforme el tiempo pasa, hallamos representaciones artísticas cada vez más complejas y elaboradas, no sólo desde el punto de vista técnico sino también en cuanto a los conceptos contenidos en ellas. Esta creciente complejidad indica que el hombre estaba cada vez más lejos de ese orden primigenio, de ese jardín del Edén en el que no había necesidad de complicarse para poder sobrevivir. Podemos ver entonces cómo en distintas partes del mundo, en civilizaciones tan diversas como la griega, la hindú, la egipcia o la maya, se hace cada vez más recurrente el uso de elementos matemáticos dentro del arte, que rigen los cánones con los que se elaboran las diferentes representaciones y que no son otra cosa que intentos por reintroducir un orden simple y armónico en sus entornos.
Así podemos hallar, por ejemplo, altares y templos hindúes elaborados de acuerdo a estrictas reglas matemáticas que determinaban el número de ladrillos con los que se debían construir o la forma en que debían acomodarse. O pirámides en el antiguo Egipto construidas de acuerdo a proporciones matemáticas.
En estos y muchos otros casos las matemáticas se hacen presentes dentro de los cánones artísticos. Sin embargo, por su importancia y trascendencia para la historia del arte en Occidente, hay que poner especial énfasis en la forma en que los griegos incorporaron las matemáticas a sus creaciones artísticas, particularmente a la forma en que comenzaron a utilizar la llamada proporción áurea dentro de su arte 3.

Tratando de explicar la proporción áurea

En las representaciones artísticas y en los objetos naturales podemos hallar propiedades que pueden ser medidas, propiedades de naturaleza tan diversa como el tamaño, el volumen, la duración, o la frecuencia. La importancia de tales propiedades radica en que nos permiten establecer un orden dentro de los objetos que las poseen, el cual surge ante nosotros en el momento en que podemos asociar valores numéricos a los objetos. En el caso concreto del arte, este nuevo orden introducido nos hace posible comparar los valores de cierta característica común a varias representaciones, y esto es fundamental en la medida que podemos hablar de la proporción entre estas. La proporción es la igualdad entre la relación que guardan dos medidas con la relación que guardan otras dos. Así, si tenemos cuatro medidas de cierta representación artística, diremos que están conectadas por una proporción si lo que la primera es a la segunda es igual que lo que la tercera es a la cuarta.
Cuando tomamos dos medidas en dos objetos diferentes -como podrían ser, por ejemplo, sus tamaños-, podemos establecer una relación entre ambos, compararlos, ver cuál es más grande o cuántas veces lo es. Pero no mucho más. En cambio, al encontrar una proporción entre cuatro medidas, es factible establecer una analogía entre la relación que guardan dos de ellas con la que guardan las otras dos; esto es, estamos ante una nueva propiedad, no ya de los objetos en sí sino de sus medidas.
Hasta aquí hemos hablado de la proporción entre cuatro cantidades; sin embargo, también puede aparecer ésta cuando lo que la primera cantidad es a la segunda es igual a lo que la segunda es a la tercera; esto es, que bastan tres cantidades distintas para hablar de proporción , lo cual tiene mucho sentido si pensamos que cuando hablamos de proporción estamos comparando la relación entre dos cantidades con algo más, o sea, que necesitamos al menos de una tercera cantidad con la cual establecer la relación de proporción. Lo anterior puede parecer algo trivial, pero nos facilitará comprender mejor la naturaleza de un cierto tipo de proporción al que ya se ha hecho referencia antes: la proporción áurea.
Tal como habíamos mencionado, esta idea requiere que se compare la relación que guardan entre si dos cantidades con, al menos, otra cantidad que nos sirva de referencia; pese a ello, es posible establecer una relación de proporción entre sólo dos cantidades si consideramos como referencia a la suma de ambas. Esto, que puede sonar confuso, no es otra cosa que considerar que ambas cantidades son partes de un todo y que la suma de ellas es ese todo; así, podemos comparar la relación que hay entre las dos partes con la que hay entre una de ellas 4 y el todo. Entonces, cuando tenemos que la relación entre dos cantidades (las partes) es igual a la relación que existe entre la cantidad más grande (parte mayor) y la suma de ambas (todo), estamos hablando de la proporción áurea.
La proporción áurea está estrechamente ligada a ø , el llamado "número dorado" o "sección áurea" 5, número irracional que ha regido los cánones estéticos occidentales desde tiempos de la Grecia clásica. A este número se le han pretendido atribuir un sinfín de propiedades místicas y esotéricas por la gran frecuencia con que aparece asociado a la estética e incluso a cuestiones biológicas o físicas 6 . Sin embargo, este numerito tan inaprehensible, que no es entero ni tampoco puede ser representado como una razón de números enteros, no esconde otra cosa que propiedades matemáticas que le proporcionan una estructura armónica de una sencillez única, propiedades geométricas y algebraicas de una belleza intrínseca que son transmitidas por el número a las obras que lo usan como patrón o canon estético.

Orden y armonía, o cómo comprender nuestro papel en el universo

Pero todas las propiedades que pueda encerrar un número y toda la belleza que pueda haber a su alrededor parecen no ser suficientes para quienes buscan vínculos místicos y cualidades mágicas en los números y su relación con los objetos que componen nuestro universo. El hecho de que ø aparezca rigiendo las proporciones de las esculturas y edificios de la antigua Grecia, de los cuadros de los grandes maestros renacentistas, de las impresionantes catedrales góticas, y que siga apareciendo recurrentemente en obras maestras a lo largo de distintos periodos de la historia del arte, no puede atribuirse a una conexión secreta de sus creadores con alguna clase de conocimiento esotérico o metafísico, sino al hecho de que es una proporción que hace posible introducir un orden y un equilibrio a las representaciones artísticas, que de otro modo no serían más que burdas copias del entorno en que vivimos y que no cumplirían su cometido de aumentar nuestra propia conciencia ni la del universo del que somos parte.
El orden y la armonía dentro del arte son conceptos fundamentales que nos permiten establecer una conexión directa con la obra. En el siglo XVIII, Hermsterhuis definió a lo bello como "aquello que nos ofrece el mayor número de ideas en el más corto tiempo" 7 . La definición de Hermsterhuis puede ser cuestionable por diversas razones válidas, pero encierra una gran verdad: al estar frente a una representación artística de cualquier índole, nos enfrentamos a un objeto capaz de provocar en nosotros ideas y sensaciones que nos golpean con la contundencia de un mazo, de una manera inconsciente e inmediata, independientemente de que un análisis concienzudo y razonado de la obra en cuestión nos lleve a establecer con ella un nivel de compenetración más profundo y enriquecedor. Esta reacción inmediata que nos provoca una representación artística, este vínculo espontáneo que se establece entre nosotros y la obra -que no es otra cosa que el placer estético-, sería difícilmente concebible sin un orden y armonía dentro de la estructura de la representación en ciernes.
En definitiva, existen más elementos que la armonía y el orden dentro de las representaciones de índole artística, elementos que las dotan de una complejidad y riqueza que hacen prácticamente inagotable su estudio. Son elementos que, entre muchas otras cosas, nos permiten dar lecturas infinitas a una representación determinada y que hacen de la experiencia estética un acto individual, único e irrepetible. Ese orden, esa armonía interna que posee el arte, y que está tan estrechamente ligada a las matemáticas, le confiere a las obras la estructura necesaria para poder provocar en quien las contempla ese placer estético que tanto nos puede aportar para comprender mejor nuestro lugar en el cosmos.

Para el lector interesado

Barrow, J.D. (1996). La trama oculta del universo: contar, pensar y existir . Barcelona: Crítica.
Birkhoff, G.D. (1994). "Matemáticas de la estética". En J. Newman: Sigma: el mundo de las matemáticas . Barcelona: Grijalbo.
Ghyka, M.C. (1977). The geometry of art and life . New York : Dover Publications.
Tomasini, M.C. (2005). El número y lo sagrado en el arte. Parte 1. Disponible en línea: http://www.palermo.edu.ar/ingenieria/investigacion.html.

1Ensayo realizado gracias al apoyo del Programa de Estímulo a la Creación y al Desarrollo Artístico de Veracruz.
2Estos desarrollos nos alcanzan hoy en día. No hay que olvidar que el conocimiento matemático actual ha venido desarrollándose a partir de las matemáticas elaboradas por varias y antiguas civilizaciones.
3Aunque es probable que los griegos no hayan sido los primeros en utilizar o incluso en conocer esta proporción, lo cierto es que son los primeros de quienes hay registro de que hicieron un uso sistemático de ella.
4Generalmente se considera la mayor de ambas partes, pero no necesariamente tiene por qué ser así
5La proporción áurea puede representarse matemáticamente por la ecuación , donde A es la parte menor, B la parte mayor y A+B el todo.
Si consideramos , tenemos que la proporción áurea se transforma en la ecuación cuadrática , una de cuyas soluciones es , que es el valor numérico de ø. 1 5.
6Tanto en patrones de crecimiento de ciertas plantas como en la configuración de los cristales de ciertos minerales, entre otros muchos ejemplos, encontramos con que ø aparece de alguna forma.
7Citado en Birkhoff, G. D. (1994). "Matemáticas de la estética". En J. Newman: Sigma: el mundo de las matemáticas . Barcelona: Grijalbo.